Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Vĩnh Long:
+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P): y2 = 4x. Gọi M là điểm di động trên (P), T’ là điểm trên (P) sao cho OT vuông góc OM (M và T đều không trùng với O). Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng MT luôn chạy trên một parabol cố định.
+ Cho bảng ô vuông kích thước 2 x 4 gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô màu cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?
+ Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P, Q. Đường thẳng qua P cắt (O1), (O2) lần lượt tại A và B (không trùng với Q). Trên đường tròn (O1) lấy điểm F thuộc cung PQ không chứa điểm A. Kẻ đường thẳng d qua F song song với AB, d cắt đường tròn (O2) tại C, E và cắt lại (O1) tại D (E, F nằm trong đoạn CD). Gọi M là giao điểm AD và BE, N là giao điểm BC và AF, K là điểm đối xứng của P qua CD. a) Chứng minh M, K, N thẳng hàng. b) Chứng minh PK là đường phân giác của góc MPN.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2026 – 2027 sở GD&ĐT Thanh Hóa:
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) và đường thẳng AI tương ứng tại G, H (G khác A). a) Gọi (O1) là đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC và tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại T. Chứng minh rằng bốn điểm G, T, H, I cùng thuộc một đường tròn. b) Tiếp tuyến tại G của (O) cắt đường thẳng BC tại J, đường thẳng AJ cắt đường tròn (O) tại điểm K khác A. Gọi D là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DJK và đường tròn ngoại tiếp tam giác GHI tiếp xúc với nhau.
+ Một điểm lưới là một điểm (x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho x, y là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm B = (x’; y’) nằm về phía Đông Bắc của điểm A = (x; y) nếu x’ > x và y’ > y. Ba điểm lưới A, B, C được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu B nằm về phía Đông Bắc của A và C nằm về phía Đông Bắc của B. Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc. a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm X, Y, Z sao cho XY² ≥ XZ² + ZY² + 4. b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?
+ Tìm số nguyên dương N nhỏ nhất sao cho tồn tại 2026 số nguyên không âm liên tiếp mà tổng tất cả các chữ số của chúng bằng N.

Trích dẫn Đề chọn ĐT thi HSG QG Toán THPT năm 2026 – 2027 trường chuyên ĐH Vinh – Nghệ An:
+ Có 30 học sinh tham dự một khóa học gồm 100 tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn 56 tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt. a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa. b) Tìm số nguyên N lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất N học sinh không được dự thi cuối khóa.
+ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của AB, đường kính CD của (O) cắt AB tại E. Tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt nhau ở T, CT cắt (O) tại điểm thứ hai là S. Gọi I là tâm của đường tròn (CMЕ). a) Chứng minh rằng các đường thẳng CD, TI, SM đồng quy. b) Đường tròn (CME) cắt (O) tại điểm thứ hai là K, MK cắt CE tại F. Chứng minh rằng ba đường tròn (EFM), (DFS), (ABF) cùng đi qua một điểm khác F.
+ Bé An có một bộ cờ gồm 32 quân cờ. An chơi trò chơi đặt lần lượt các quân cờ lên một bàn cờ kích thước n x n. Trên bàn cờ, một ô gọi là hợp lệ nếu ô đó chưa có quân cờ nào đồng thời tổng số quân cờ đang có trên 2n – 2 ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó là một số chẵn. Mỗi bước An đặt một quân cờ vào một ô hợp lệ. a) Xét n = 8 và bàn cờ được tô trắng đen như bàn cờ vua tiêu chuẩn. Chứng minh rằng An có thể đặt hết 32 quân cờ vào 32 ô trắng của bàn cờ. b) Với n = 8, chứng minh rằng nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì An luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ. c) Với n = 7, hỏi nếu với mỗi bước đặt quân cờ An chọn ngẫu nhiên một ô hợp lệ thì có còn đảm bảo luôn đặt được toàn bộ 32 quân cờ lên bàn cờ hay không? Vì sao?

Trích dẫn Đề chọn HSG Toán 11 lần 1 năm 2026 – 2027 trường THPT Hùng Vương – Đồng Nai:
+ Cho hàm số bậc hai là f(x) = 2×2 − 3x − 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(5sin 2x − 3m) = 1 có đúng 5 nghiệm phân biệt trên đoạn [π/4;3π/2].
+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(−5; −5), K(9; −3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x − y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
+ An chơi trò chơi Minesweeper (gỡ mìn), một trò chơi logic cổ điển, mục tiêu là mở toàn bộ các ô không chứa mìn trên một “bãi mìn” có 27 quả mìn ẩn dưới 27 ô vuông trong bảng 9 × 9 ô vuông như hình bên. Nếu mở ô chứa mìn thì An thua cuộc, nếu mở ô không chứa mìn thì trong ô này sẽ hiện số tự nhiên n với 1 ≤ n ≤ 8 nhằm cảnh báo cho An rằng, trong số 8 ô kề quanh ô này có n ô chứa mìn. Hai ô đầu tiên An mở là ô ngay phía trên và ô ngay phía dưới ô trong tâm, hai số “cảnh báo” mà hai ô này đưa ra lần lượt là 4 và 2.