GDKTPL Giữa KÌ
Trích dẫn Đề kiểm tra HSG Toán 12 lần 1 năm 2026 – 2027 cụm trường THPT – Bắc Ninh:
+ Để thiết lập kênh truyền thông bảo mật tuyệt đối qua mạng sợi quang đô thị, một viện công nghệ sử dụng các photon phân cực đơn lẻ phát ra từ nguồn laser. Do hiện tượng hấp thụ và tán xạ Rayleigh, xác suất P(d) để một photon vượt qua thành công đoạn sợi quang có chiều dài d (tính bằng km) mà không bị suy hao được mô hình hoá bởi hàm số: P(d) = 2^(-k.d) trong đó k là suất suy hao quang học của sợi quang (k > 0). Trong giai đoạn kiểm chuẩn ban đầu trên một tuyến cáp thử nghiệm dài 12 km, máy đếm photon đầu cuối đo được tỷ lệ photon bị thất thoát (suy hao) là 75%. Khi triển khai kết nối thực tế giữa hai trung tâm điều hành, máy phát sử dụng xung laser có tần số xung cực cao, liên tục phát ra N = 10^8 photon mỗi giây vào sợi quang. Để giao thức mã hoá bảo mật lượng tử tự động duy trì hoạt động liên tục (không bị ngắt kết nối do lỗi thiếu photon), trạm thu phải thu nhận được tối thiểu 25 photon mỗi giây.Hỏi khoảng cách tối đa d_max giữa hai trung tâm điều hành là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của kilômét).
+ Anh Tuấn sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển 3 km. Hàng tuần anh Tuấn đi xuồng máy vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bình để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở chợ Hoành, bên bờ biển cách bến Bình 11,5 km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bình bằng xe kéo. Anh Tuấn đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó trên bờ biển nối giữa bến Bình và chợ Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Hỏi vị trí điểm hẹn hai người dự định gặp nhau cách bến Bình bao nhiêu km, biết rằng vận tốc của anh Nam là 15 km/h, vận tốc của anh Tuấn là 10 km/h. Giả thiết rằng đường bờ biển từ chợ Hoành đến bến Bình là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối từ trạm hải đăng đến bến Bình và anh Tuấn cũng luôn lái xuồng theo đường thẳng từ trạm hải đăng đến điểm hẹn.
+ Sửa chữa, xây dựng lối đi (cầu gỗ) là một biện pháp thường gặp để nâng cao hiệu quả tham quan du lịch. Như hình vẽ, một hồ chứa có một đảo nhỏ hình nửa đường tròn bán kính 1 (trăm mét), tâm là C, và đường kính MN song song với mặt đập. Trên mặt đập có điểm A thỏa mãn AC vuông góc với MN và AC = 3 (trăm mét). Để thuận tiện cho du khách ra đảo ngắm cảnh, dự định xây ba đoạn lối đi AB, BD, BE. Điểm B nằm trên đoạn AC; các đoạn BD, BE đều là tiếp tuyến của đường tròn tâm C, các tiếp điểm lần lượt là D, E. Biết rằng các đoạn AB, BD, BE và đảo nằm trong cùng một mặt phẳng. Ngoài ra, trên đảo nửa tròn còn xây thêm các lối đi theo cung ME, cung ND và đoạn thẳng MN. Bỏ qua các yếu tố khác, cần xây tổng chiều dài lối đi nhỏ nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
+ Để thiết lập kênh truyền thông bảo mật tuyệt đối qua mạng sợi quang đô thị, một viện công nghệ sử dụng các photon phân cực đơn lẻ phát ra từ nguồn laser. Do hiện tượng hấp thụ và tán xạ Rayleigh, xác suất P(d) để một photon vượt qua thành công đoạn sợi quang có chiều dài d (tính bằng km) mà không bị suy hao được mô hình hoá bởi hàm số: P(d) = 2^(-k.d) trong đó k là suất suy hao quang học của sợi quang (k > 0). Trong giai đoạn kiểm chuẩn ban đầu trên một tuyến cáp thử nghiệm dài 12 km, máy đếm photon đầu cuối đo được tỷ lệ photon bị thất thoát (suy hao) là 75%. Khi triển khai kết nối thực tế giữa hai trung tâm điều hành, máy phát sử dụng xung laser có tần số xung cực cao, liên tục phát ra N = 10^8 photon mỗi giây vào sợi quang. Để giao thức mã hoá bảo mật lượng tử tự động duy trì hoạt động liên tục (không bị ngắt kết nối do lỗi thiếu photon), trạm thu phải thu nhận được tối thiểu 25 photon mỗi giây.Hỏi khoảng cách tối đa d_max giữa hai trung tâm điều hành là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của kilômét).
+ Anh Tuấn sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển 3 km. Hàng tuần anh Tuấn đi xuồng máy vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bình để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở chợ Hoành, bên bờ biển cách bến Bình 11,5 km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bình bằng xe kéo. Anh Tuấn đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó trên bờ biển nối giữa bến Bình và chợ Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Hỏi vị trí điểm hẹn hai người dự định gặp nhau cách bến Bình bao nhiêu km, biết rằng vận tốc của anh Nam là 15 km/h, vận tốc của anh Tuấn là 10 km/h. Giả thiết rằng đường bờ biển từ chợ Hoành đến bến Bình là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối từ trạm hải đăng đến bến Bình và anh Tuấn cũng luôn lái xuồng theo đường thẳng từ trạm hải đăng đến điểm hẹn.
+ Sửa chữa, xây dựng lối đi (cầu gỗ) là một biện pháp thường gặp để nâng cao hiệu quả tham quan du lịch. Như hình vẽ, một hồ chứa có một đảo nhỏ hình nửa đường tròn bán kính 1 (trăm mét), tâm là C, và đường kính MN song song với mặt đập. Trên mặt đập có điểm A thỏa mãn AC vuông góc với MN và AC = 3 (trăm mét). Để thuận tiện cho du khách ra đảo ngắm cảnh, dự định xây ba đoạn lối đi AB, BD, BE. Điểm B nằm trên đoạn AC; các đoạn BD, BE đều là tiếp tuyến của đường tròn tâm C, các tiếp điểm lần lượt là D, E. Biết rằng các đoạn AB, BD, BE và đảo nằm trong cùng một mặt phẳng. Ngoài ra, trên đảo nửa tròn còn xây thêm các lối đi theo cung ME, cung ND và đoạn thẳng MN. Bỏ qua các yếu tố khác, cần xây tổng chiều dài lối đi nhỏ nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
